Arbeitsweise der kubischen Interpolation
Bei der kubischen Interpolation wird innerhalb eines Interpolationsintervalls [P[n].X ... P[n+1].X] ein Polynom 3. Ordnung verwendet, um zu einem Wert X innerhalb des betrachteten Intervalls einen Wert Y und dessen Ableitungen zu berechnen. Ein Polynom 3. Ordnung wird durch folgende mathematische Gleichung beschrieben:
y = f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x2 + a3 * x3
Zur Bestimmung der Koeffizienten a0 ... a3 können folgende Randbedingungen verarbeitet werden:
- Position an der linken Grenze:
P[n].Y = f(P[n].X) - Position an der rechten Grenze:
P[n+1].Y = f(P[n+1].X) - Ableitung an der linken Grenze:
y' = f'(P[n].X) - Ableitung an der rechten Grenze:
y' = f'(P[n+1].X)
Die Ableitungen an den Grenzen werden über die Steigung der Geraden durch die beiden Nachbarpunkte geschätzt:
f'(P[n].X) = (P[n+1].Y - P[n-1].Y) / (P[n+1].X - P[n-1].X)
(Steigung in P[n] = Steigung der Geraden durch P[n-1] und P[n+1])
f'(P[n+1].X) = (P[n+2].Y - P[n].Y) / (P[n+2].X - P[n-1].X)
(Steigung in P[n+1] = Steigung der Geraden durch P[n] und P[n+2])
Nachfolgende Abbildung veranschaulicht das Verfahren:
Das Verfahren zur Abschätzung der Ableitung kann problemlos auf jeden Punkt innerhalb der Punkt-Liste angewendet werden. An den Rand-Punkten ergibt sich jedoch das Problem, dass kein vorausgehender bzw. nachfolgender Punkt definiert ist. Deswegen werden an den Rändern andere über den Parameter eInterpolMode steuerbare Mechanismen zur Abschätzung der Ableitung verwendet.
